Dérivation - Ex12
Question
La courbe \(\mathscr C\,\colon\, y=x^3\) admet-elle des tangentes de coefficients directeurs \(6\) et \(-1\) ?
Solution
On nomme \(f\) la fonction cube : \(f(x)=x^3\).
Elle est dérivable (car du type \(x^n\))
On peut alors formuler autrement la question : "existe-t-il des valeurs de \(x\) telles que \(f'(x)=6\) et \(f'(x)=-1\) ?"
\(\forall x \in \mathbb R\) : \(f'(x)=3x^2\).
Pour le premier cas, on résout \(\begin{array}{|rcl} f'(x)=6 &\color{RedOrange}\Leftrightarrow & 3x^2=6 \\ &\color{RedOrange}\Leftrightarrow & x^2=2 \\ &\color{RedOrange}\Leftrightarrow & x=-\sqrt 2 \text{ ou }x=\sqrt 2\end{array}\)
Pour le deuxième cas, on résout \(\begin{array}{|rcl} f'(x)=-1 &\color{RedOrange}\Leftrightarrow & 3x^2=-1 \\&\color{RedOrange}\Leftrightarrow & x^2=-\frac 1 3\\ &\color{RedOrange}\Leftrightarrow & \text{Pas de solutions réelles}\end{array}\)
En conclusion :
La courbe \(C\colon y=x^3\) admet des tangentes de coefficients directeurs \(\color{OliveGreen}6\) en \(\color{red}\underline{x=-\sqrt 2}\) et \(\color{red}\underline{x=-\sqrt 2}\).
La courbe \(C\colon y=x^3\) n'admet pas de tangentes de coefficients directeurs \(\color{OliveGreen}-1\) ?