Exercices - Fonction dérivée

\(f\) est la somme de deux fonctions \(u\) et \(v\) dérivables sur \(]\,0\, ;\,+\infty\,[\), elle est donc dérivable sur \(]\,0\, ;\,+\infty\,[\).

• \(u(x)=x^2\) donc \(u'(x)=2x\).

• \(v(x)=\sqrt{x}\) donc \(v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\).

On obtient alors \(\boxed{f'(x)=2x+\frac{1}{2\sqrt{x}}}\)

\(f(x)=-4\times u(x)\) avec \(u(x)=\frac{1}{x}\).

La fonction \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\), donc \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\).

\(u'(x)=-\frac{1}{x^2}\), on obtient alors \(\boxed{f'(x)=-4\times\left(-\frac{1}{x^2}\right)=\frac{4}{x^2}}\)

\(f(x)=u(x)+v(x)+w(x)\) avec \(u(x)=2x^3\), \(v(x)=-3x^2\) et \(w(x)=-1\).

Les fonctions \(u\), \(v\) et \(w\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) donc \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\)

• \(u'(x)=2\times\left(3x^2\right)=6x^2\)

• \(v'(x)=-3\times\left(2x\right)=-6x\)

• \(w'(x)=0\)

On obtient alors \(\boxed{f'(x)=6x^2-6x}\).