Dérivation - Ex11
Dans chacun des cas suivants, préciser sur quelle partie de \(\mathbb{R}\) la fonction \(f\) est dérivable et calculer \(f'(x)\).
Question
a)\( f(x)=4x(x^2-5)\)
Indice
La fonction \(f\) est de la forme \(u\times v\).
Solution
\(f(x)=u(x)\times v(x)\) où \(u(x)=4x\) et \(v(x)=x^2-5\).
\(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) donc \(f\) est \(\colorbox{yellow}{$\text{dérivable sur }\mathbb{R}$}\).
\(u'(x)=4\) et \(v'(x)=2x\), donc \(f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=4(x^2-5)+4x\times 2x=\colorbox{yellow}{$12x^2-20$}\)
Remarque :
On aurait également pu constater que \(f(x)=4x^3-20x=u(x)+v(x)\)
\(u(x)=4x^3\) donc \(u'(x)=4\times 3x^2=12x^2\) et \(v(x)=-20x\) donc \(v'(x)=-20\).
On retrouve alors \(f'(x)=12x^2-20\).
Question
b) \(f(x)=\frac{2x^2}{x+3}\)
Indice
La fonction \(f\) est de la forme \(\frac{u}{v}\).
Solution
\(f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}\) où \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\).
\(v(x)=x+3\) s'annule en \(-3\), \(f\) est donc \(\colorbox{yellow}{$\text{dérivable sur }\mathbb{R}\smallsetminus\{-3\}$}\).
\(u(x)=2x^2\) donc \(u'(x)=4x\) et \(v(x)=x+3\) donc \(v'(x)=1\).
On obtient \(f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}=\frac{4x(x+3)-2x^2\times 1}{(x+3)^2}=\colorbox{yellow}{$\frac{2x^2+12x}{(x+3)^2}$}\)
Question
c) \(f(x)=\frac{-5}{x^2+1}\)
Indice
La fonction \(f\) est de la forme \(\lambda\times\frac{1}{u}\).
Solution
\(f(x)=-5\times\frac{1}{u(x)}\) où \(u\) est une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) ne s'annulant jamais.
\(f\) est donc \(\colorbox{yellow}{$\text{dérivable sur }\mathbb{R}$}\).
\(u(x)=x^2+1\) donc \(u'(x)=2x\).
Ainsi \(f'(x)=-5\times\frac{-u'(x)}{u(x)^2}=-5\times\frac{-2x}{(x^2+1)^2}=\colorbox{yellow}{$\frac{10x}{(x^2+1)^2}$}\).
Question
Question
e) \(f(x)=-x^3+x^2\sqrt{2}+4x\)
Indice
La fonction \(f\) est une somme de termes de la forme \(\lambda\times x^n\).
Solution
La fonction \(f\) est une fonction polynôme de degré 3, elle est \(\colorbox{yellow}{$\text{dérivable sur }\mathbb{R}$}\).
\(f(x)=u(x)+v(x)+w(x)\) où \(u(x)=-x^3\), \(v(x)=x^2\sqrt{2}\) et \(w(x)=4x\).
On a \(u'(x)=-3x^2\), \(v'(x)=2\sqrt{2}x\) et \(w'(x)=4\) donc \(f'(x)=\colorbox{yellow}{$-3x^2+2\sqrt{2}x+4$}\).
Question
f) \(f(x)=\frac{1}{x^4}\)
Indice
La fonction \(f\) est de la forme \(\frac{1}{u}\).
Solution
\(f(x)=\frac{1}{u(x)}\) où \(u\) est une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) et s'annulant en \(0\).
\(f\) est donc \(\colorbox{yellow}{$\text{dérivable sur }\mathbb{R}^*$}\).
\(u(x)=x^4\) donc \(u'(x)=4x^3\).
On obtient \(f'(x)=-\frac{u'(x)}{u(x)^2}=-\frac{4x^3}{(x^4)^2}=-\frac{4x^3}{x^8}=\colorbox{yellow}{$-\frac{4}{x^5}$}\).
Remarque :
On peut aussi écrire \(f(x)=x^{-4}\) et utiliser la formule de dérivation de \(x^n\) bien que \(n\) soit négatif.
On obtient \(f'(x)=nx^{n-1}=-4x^{-4-1}=-4 x^{-5}=-\frac{4}{x^5}\).
Conseil :
De façon générale, on pourra remarquer que toute fonction \(f\) de la forme \(f(x)=\frac{1}{x^p}\) peut s'écrire sous la forme \(f(x)=x^{-p}\).
Donc \(f'(x)=-px^{-p-1}=\boxed{\frac{-p}{x^{p+1}}}\).