Activité d'introduction - 1

  1. Ces listes ont été construites en suivant des règles de construction précises. Trouver une règle de construction pour chacune.

  2. Écrire, pour chacune des listes, les quatre termes suivants en utilisant la règle de construction trouvée.

  3. Donner le 18ème terme de chacune des listes.

  4. Peut-on prévoir, pour certaines de ces listes, le 100ème terme de la liste (sans écrire tous les termes précédents!) ? Si oui, donner sa valeur.

Question

On propose les listes de nombres suivantes :

  • \(\boxed a\) : 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; 19

  • \(\boxed b\) : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64

  • \(\boxed c\) : 0 ; 1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 21 ; 28

  • \(\boxed d\) : 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49

  • \(\boxed e\) : \(\dfrac 1 2\); \(\dfrac 2 3\); \(\dfrac 3 4\); \(\dfrac 4 5\)

  • \(\boxed f\) : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34

  • \(\boxed g\) : 1 ; 2 ; 3

  • \(\boxed h\) : 1 ; 11 ; 21 ; 1211 ; 111221 ; 312211 ; 13112221 ; 1113213211

Solution

Liste a
  • \(\boxed a\) : 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; 19

  1. Trouver une règle de construction :

    On ajoute 3 à un nombre pour trouver le suivant.

  2. Écrire les quatre termes suivants en utilisant la règle de construction trouvée.

    \(\boxed a\) : 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; 19 ; \(\color{red}{22 ;25 ;28 ;31}\)

  3. Donner le 18ème terme.

    \(\boxed a\) : le 18ème terme est \(\color{red}{52}\).

  4. Peut-on prévoir le 100ème terme de la liste (sans écrire tous les termes précédents!) ? Si oui, donner sa valeur.

    \(\boxed a\) : Le 100ème terme est le premier plus 99 fois 3 : \(\color{red}{298}\).

Solution

Liste b
  • \(\boxed b\) : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64

  1. Trouver une règle de construction :

    On multiplie par 2 un nombre pour trouver le suivant.

  2. Écrire les quatre termes suivants en utilisant la règle de construction trouvée.

    \(\boxed b\) : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ;\(\color{red}{128 ;256 ;512 ;1024}\)

  3. Donner le 18ème terme.

    \(\boxed b\) : le 18ème terme est \(\color{red}{131072}\).

  4. Peut-on prévoir le 100ème terme de la liste (sans écrire tous les termes précédents!) ? Si oui, donner sa valeur.

    \(\boxed b\) : Le 100ème terme est \(2^{100}=\color{red}{2^{99}}\).

Solution

Liste c
  • \(\boxed c\) : 0 ; 1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 21 ; 28

  1. Trouver une règle de construction :

    On ajoute 1 puis 2 puis 3 puis 4 puis 5 puis 6 puis 7.

  2. Écrire les quatre termes suivants en utilisant la règle de construction trouvée.

    \(\boxed c\) : 0 ; 1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 21 ; 28 ; \(\color{red}{36 ;45 ;55 ;66}\)

  3. Donner le 18ème terme.

    \(\boxed c\) : le 18ème terme est \(\color{red}{153}\).

  4. Peut-on prévoir le 100ème terme de la liste (sans écrire tous les termes précédents!) ? Si oui, donner sa valeur.

    \(\boxed c\) : Le 100ème terme se calcule à partir du 99ème auquel on ajoute 98. Il faut donc calculer le 99ème, donc le 98ème, donc ...

Solution

Liste d
  • \(\boxed d\) : 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49

  1. Trouver une règle de construction :

    On calcule le carré de 1 puis de 2 puis de 3 puis de 4 puis de 5 puis de 6 puis de 7.

  2. Écrire les quatre termes suivants en utilisant la règle de construction trouvée.

    \(\boxed d\) : 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ;\(\color{red}{64 ;81 ;100 ;121}\)

  3. Donner le 18ème terme.

    \(\boxed d\) : le 18ème terme est \(18^2=\color{red}{324}\).

  4. Peut-on prévoir le 100ème terme de la liste (sans écrire tous les termes précédents!) ? Si oui, donner sa valeur.

    \(\boxed d\) : Le 100ème terme est \(100^2=\color{red}{10000}\).

Solution

Liste e
  • \(\boxed e\) : \(\dfrac 1 2\); \(\dfrac 2 3\); \(\dfrac 3 4\); \(\dfrac 4 5\)

  1. Trouver une règle de construction :

    Ce sont des fractions d'un entier et de son suivant : \(\dfrac {\text{entier}}{{entier }+1}\)

  2. Écrire les quatre termes suivants en utilisant la règle de construction trouvée.

    \(\boxed e\) : \(\dfrac 1 2\); \(\dfrac 2 3\); \(\dfrac 3 4\); \(\dfrac 4 5\); \(\color{red}{\dfrac{5}{6} ;\dfrac{6}{7} ;\dfrac{7}{8} ;\dfrac{8}{9}}\)

  3. Donner le 18ème terme.

    \(\boxed e\) : le 18ème terme est \(\color{red}\dfrac {18}{19}\).

  4. Peut-on prévoir le 100ème terme de la liste (sans écrire tous les termes précédents!) ? Si oui, donner sa valeur.

    \(\boxed e\) : Le 100ème terme est \(\color{red}{\dfrac{100}{101}}\).

Solution

Liste f
  • \(\boxed f\) : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34

  1. Trouver une règle de construction :

    On ajoute les deux nombres précédents \(\ldots\) ; \(\color{red}{3}\) ; \(\color{blue}{5}\) ; \(\underbrace{8}_{\color{red}{3}+\color{blue}{5}}\) ; \(\ldots\)

  2. Écrire les quatre termes suivants en utilisant la règle de construction trouvée.

    \(\boxed f\) : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ;\(\color{red}{55 ;89 ;144 ;233}\)

  3. Donner le 18ème terme.

    \(\boxed f\) : le 18ème terme est \(\color{red}{4181}\).

    • 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; \(\underbrace{55}_{21+34}\) ; \(\underbrace{89}_{34+55}\) ; \(\underbrace{144}_{55+89}\) ; \(\underbrace{233}_{89+144}\) ; \(\underbrace{377}_{144+233}\) ; \(\underbrace{610}_{233+377}\) ; \(\underbrace{987}_{377+610}\) ; \(\underbrace{1597}_{610+987}\) ; \(\underbrace{2584}_{987+1597}\) ; \(\underbrace{4181}_{1597+2584}\).

  4. Peut-on prévoir le 100ème terme de la liste (sans écrire tous les termes précédents!) ? Si oui, donner sa valeur.

    \(\boxed f\) : Le 100éme terme est la somme du 99ème et du 98ème donc ...

Solution

Liste g
  • \(\boxed g\) : 1 ; 2 ; 3

  1. Trouver une règle de construction :

    • C'est la liste des nombres entiers naturels (privés de 0).

    • On peut aussi, comme précédemment, ajouter les deux nombres précédents \(\ldots\) ; \(\color{red}{1}\) ; \(\color{blue}{2}\) ; \(\underbrace{3}_{\color{red}{1}+\color{blue}{2}}\) ; \(\ldots\)

  2. Écrire les quatre termes suivants en utilisant la règle de construction trouvée.

    \(\boxed g\) : 1 ; 2 ; 3 ;\(\color{red}{4 ;5 ;6 ;7}\) ou 1 ; 2 ; 3 ;\(\color{red}{5 ;8 ;13 ;21}\)

  3. Donner le 18ème terme.

    \(\boxed g\) : le 18ème terme est \(\color{red}{18}\) ou \(\color{red}4181\)

  4. Peut-on prévoir le 100ème terme de la liste (sans écrire tous les termes précédents!) ? Si oui, donner sa valeur.

    \(\boxed g\) : Le 100ème terme est \(\color{red}100\) ou 4182 (voir ci-dessus : règle de construction)

Solution

Liste h
  • \(\boxed h\) : 1 ; 11 ; 21 ; 1211 ; 111221 ; 312211 ; 13112221 ; 1113213211

  1. Trouver une règle de construction :

    On écrit le suivant en donnant combien de fois est écrit chaque chiffre dans le nombre précédent : \(\ldots\) ; \(\underbrace{1}_{\color{blue}\text{un 1}}\underbrace{2}_{\color{red}\text{un 2}}\underbrace{11}_{\color{OliveGreen}\text{deux 1}}\) ;

    \(\color{red}\text{un}\) 1 s'écrit \({\color{red}1}1\), \(\color{red}\text{un}\) 2 s'écrit \({\color{red}1}2\) et \(\color{red}\text{deux}\) 1 s'écrit \({\color{red}2}1\) donc \({\color{red}1}1{\color{red}1}2{\color{red}2}1\); \(\ldots\)

  2. Écrire les quatre termes suivants en utilisant la règle de construction trouvée.

    \(\boxed h\) : 1 ; 11 ; 21 ; 1211 ; 111221 ; 312211 ; 13112221 ; 1113213211 ;\(\color{red}31131211131221\) ; \(\color{blue}13211311123112112211\) ; \(\color{red} 11121221133112132112212221\) ; \(\color{blue} 31121222212321121113122122123211\)

  3. Donner le 18ème terme.

    \(\boxed h\) : le 18ème terme est \(\ldots\)

  4. Peut-on prévoir le 100ème terme de la liste (sans écrire tous les termes précédents!) ? Si oui, donner sa valeur.

    \(\boxed h\) : Le 100ème terme se trouve à partir du 99ème donc ...